Encontre f^{\prime} e f^{\prime \prime} :
f(x)=\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{4}}\right)\left(x+5 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(x)=\Bigl(\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{4}}\Bigr)\,(x+5x^{3}).
Para resolver, vamos primeiro simplificar f(x) escrevendo potências de x e expandindo o produto. Depois aplicamos a regra do poder para obter f' e f''.

Passo 2

Escrevendo em potências, temos \tfrac{1}{x^{2}}=x^{-2} e \tfrac{3}{x^{4}}=3x^{-4}. Então
f(x) = (x^{-2}-3x^{-4})(x+5x^{3}).
Expandindo termo a termo:
x^{-2}\cdot x = x^{-1},\quad x^{-2}\cdot 5x^{3} = 5x^{1},\quad -3x^{-4}\cdot x = -3x^{-3},\quad -3x^{-4}\cdot 5x^{3} = -15x^{-1}.
Somando essas parcelas,
f(x)=x^{-1}+5x -3x^{-3}-15x^{-1} = 5x \;-\;14x^{-1}\;-\;3x^{-3}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do poder, que diz \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}. Assim, para
f(x)=5x -14x^{-1}-3x^{-3},
temos
f'(x)=5 +(-1)(-14)x^{-2} +(-3)(-3)x^{-4} =5 +14x^{-2} +9x^{-4}.

Passo 4

Derivando novamente f'(x) pelo mesmo princípio,
f'(x)=5 +14x^{-2} +9x^{-4},
resulta em
f''(x)=14\cdot(-2)x^{-3} +9\cdot(-4)x^{-5} =-28x^{-3} -36x^{-5}.

Resposta

f'(x)=5 +\frac{14}{x^{2}}+\frac{9}{x^{4}}
f''(x)=-\frac{28}{x^{3}}-\frac{36}{x^{5}}

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