Encontre f^{\prime} e f^{\prime \prime} :
f(x)=\frac{3 x-1}{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função racional
f(x)=\frac{3x-1}{2x+1}.
O conteúdo usado será a regra do quociente para obter f'(x) e, em seguida, a regra da cadeia para obter f''(x).

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente: se u(x)=3x-1 e v(x)=2x+1, então
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{3\,(2x+1)-(3x-1)\,2}{(2x+1)^2}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
3\,(2x+1)-(3x-1)\,2 =6x+3-6x+2 =5.
Logo
f'(x)=\frac{5}{(2x+1)^2}.

Passo 4

Para obter f''(x), reescrevemos
f'(x)=5\,(2x+1)^{-2}
e aplicamos a regra da cadeia. Assim,
f''(x) =5\cdot(-2)\,(2x+1)^{-3}\cdot(2) =-20\,(2x+1)^{-3}.

Passo 5

Escrevendo em forma de fração temos
f''(x)=-\frac{20}{(2x+1)^3}.

Resposta

f'(x)=\frac{5}{(2x+1)^2}, \quad f''(x)=-\frac{20}{(2x+1)^3}.

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