Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{x-1}{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=\frac{x-1}{2x+1}.
Conteúdos envolvidos: domínio, assíntotas (vertical e horizontal), interceptos com os eixos, monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o denominador não seja zero:
2x+1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq-\tfrac12.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-\tfrac12\}.

Passo 3

Encontramos as assíntotas.
Assíntota vertical: resolver 2x+1=0
x=-\tfrac12.
Assíntota horizontal: estudar \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{2x+1}=\frac{1}{2}.
Portanto as assíntotas são
x=-\tfrac12 \qquad\text{e}\qquad y=\tfrac12.

Passo 4

Calculamos os interceptos:
– Intercepto em x: resolver x-1=0 x=1, logo ponto (1,0).
– Intercepto em y: tomar x=0, então
f(0)=\frac{0-1}{2\cdot0+1}=-1,
logo ponto (0,-1).

Passo 5

Analisamos a monotonicidade via a derivada:
f'(x) =\frac{(1)(2x+1)-(x-1)\cdot2}{(2x+1)^2} =\frac{2x+1-2x+2}{(2x+1)^2} =\frac{3}{(2x+1)^2}.
Como (2x+1)^2>0 para todo x\neq -\tfrac12, segue f'(x)>0.
Logo f é estritamente crescente em cada intervalo (-\infty,-\tfrac12) e (-\tfrac12,\infty).

Passo 6

Estudamos a concavidade usando a segunda derivada:
f''(x) =\frac{d}{dx}\!\Bigl(3(2x+1)^{-2}\Bigr) =3\cdot(-2)\cdot2\,(2x+1)^{-3} =-\frac{12}{(2x+1)^3}.
– Para x<-\tfrac12, (2x+1)^3<0 implica f''(x)>0: concavidade para cima.
– Para x>-\tfrac12, (2x+1)^3>0 implica f''(x)<0: concavidade para baixo.

Passo 7

Reunindo:
– Domínio \mathbb{R}\setminus\{-\tfrac12\}.
– Assíntotas em x=-\tfrac12 (vertical) e y=\tfrac12 (horizontal).
– Interceptos em (1,0) e (0,-1).
– Função crescente em cada ramo, com concavidade para cima à esquerda de -\tfrac12 e para baixo à direita.

Resposta

Esboço qualitativo do gráfico de f(x)=\frac{x-1}{2x+1}:
  • Há um ramo para x<-\tfrac12, que tende a -\infty quando x\to-\tfrac12^- e a y=\tfrac12 quando x\to-\infty, crescendo e sendo côncavo para cima.
  • Há outro ramo para x>-\tfrac12, que parte de +\infty em x\to-\tfrac12^+, cruza (0,-1) e (1,0), cresce e é côncavo para baixo, aproximando-se de y=\tfrac12 quando x\to+\infty.

Exercícios relacionados