Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
Conteúdos envolvidos: domínio, assíntotas (vertical e horizontal), interceptos com os eixos, monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Determinamos o domínio exigindo que o denominador não seja zero:
Logo o domínio é
.
Passo 3
Encontramos as assíntotas.
Assíntota vertical: resolver dá
Assíntota vertical: resolver
Assíntota horizontal: estudar
Portanto as assíntotas são
Portanto as assíntotas são
Passo 4
Calculamos os interceptos:
– Intercepto em : resolver
dá
, logo ponto
.
– Intercepto em : tomar
, então
– Intercepto em
– Intercepto em
logo ponto
.
Passo 5
Analisamos a monotonicidade via a derivada:
Como
para todo
, segue
.
Logo é estritamente crescente em cada intervalo
e
.
Logo
Passo 6
Estudamos a concavidade usando a segunda derivada:
– Para
,
implica
: concavidade para cima.
– Para ,
implica
: concavidade para baixo.
– Para
Passo 7
Reunindo:
– Domínio .
– Assíntotas em (vertical) e
(horizontal).
– Interceptos em e
.
– Função crescente em cada ramo, com concavidade para cima à esquerda de e para baixo à direita.
– Domínio
– Assíntotas em
– Interceptos em
– Função crescente em cada ramo, com concavidade para cima à esquerda de
Resposta
Esboço qualitativo do gráfico de
:
- Há um ramo para
, que tende a quando e a quando , crescendo e sendo côncavo para cima. - Há outro ramo para
, que parte de em , cruza e , cresce e é côncavo para baixo, aproximando-se de quando .