Encontre f^prime(a).
f(x)=raizx-1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função f(x)=raizx-1 num ponto genérico x=a. O conteúdo aqui é derivada de função radical e vamos usar a definição de derivada e racionalizar o quociente. Atenção: o domínio é x>1, logo a>1.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada em a:
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a

Passo 3

Substituindo f(x)=raizx-1 e f(a)=raiza-1, fica
f'(a)=limxto araizx-1-raiza-1x-a

Passo 4

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada raizx-1+raiza-1:
f'(a)=limxto a (raizx-1-raiza-1)(raizx-1+raiza-1) (x-a),(raizx-1+raiza-1) =limxto ax-a(x-a),(raizx-1+raiza-1)

Passo 5

Cancelamos x-a (para xneq a) e calculamos o limite:
f'(a)=limxto a1raizx-1+raiza-1 =12raiza-1

Resposta

f'(a)=12raiza-1, a>1

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