Resolver as seguintes integrais
integral ln (a x)ln (a b x) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
integral ln(ax)ln(abx),dx
onde a e b são constantes positivas. Vamos usar propriedades de logaritmo e uma substituição para reduzir ao integral do tipo integral e^t,dt e integral e^t/t,dt, esta última relacionada à função exponencial integral Ei(t).

Passo 2

Reescrevemos o quociente de logaritmos usando
ln(ax)=ln a+ln x, ln(abx)=ln a+ln b+ln x=ln(ab)+ln x
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ln(ax)ln(abx) =ln(abx)-ln bln(abx) =1-ln bln(abx)
Assim o integral vira
integralln(ax)ln(abx),dx =integrall(1-ln bln(abx)r),dx =integral dx-ln bintegraldxln(abx)

Passo 3

Para tratar o segundo termo, faça a substituição
t=ln(abx),
então
dt=1x,dx Longrightarrow dx=x,dt
Além disso, de t=ln(abx) segue
x=e^t/(ab)

Passo 4

Substituindo em integraldxln(abx) obtemos
integraldxln(abx) =integralx,dtt =integrale^tab,dtt =1abintegrale^tt,dt =1ab,Ei(t)+constante,
onde Ei(t) é a função exponencial integral.

Passo 5

Voltando ao integral original e juntando as peças:
integralln(ax)ln(abx),dx =integral dx-ln bintegraldxln(abx) =x-ln bcdot1ab,Ei(t)+C

Passo 6

Substituindo t=ln(abx) de volta, o resultado final é
boxed integralln(ax)ln(abx),dx = x ;-;ln bab,Eil(ln(abx)r)+C

Resposta

integral ln(ax)ln(abx),dx = x - ln bab,Ei!l(ln(abx)r)+C

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