Resolver as seguintes integrais
integral e^x d xe^2 x-6 e^x+13

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral e^x,dxe^2x-6e^x+13.
O conteúdo envolvido é técnica de integração por substituição, completar quadrado e uso da fórmula da arctan.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^x, dt = e^x,dx,
de modo que a integral original se transforma em
integral dtt^2 - 6t + 13

Passo 3

Completamos o quadrado no denominador:
t^2 - 6t + 13 = (t - 3)^2 + 4

Passo 4

Definimos
u = t - 3, du = dt,
então a integral fica
integral duu^2 + 2^2

Passo 5

Usamos a fórmula
integral duu^2 + a^2 = 1aarctan!l(tfracuar) + C
com a=2, obtendo
12arctan!l(tfracu2r) + C

Passo 6

Voltando às variáveis originais: u = t - 3 = e^x - 3. Logo a antiderivada é
12arctan!l(e^x - 32r) + C

Resposta

12arctan!l(e^x - 32r) + C

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