Encontre f.
f^{\prime \prime \prime}(t)=e{t}+t{-4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva f cuja terceira derivada é
f'''(t)=e^{t}+t^{-4}.
O conteúdo aqui é integração sucessiva de funções elementares. Para resolver, vamos integrar três vezes e introduzir constantes de integração em cada passo.

Passo 2

Integramos uma vez para obter f''(t).
f''(t)=\int\bigl(e^{t}+t^{-4}\bigr)\,dt =\int e^{t}\,dt+\int t^{-4}\,dt =e^{t}+\frac{t^{-3}}{-3}+C_{1} =e^{t}-\frac{1}{3}t^{-3}+C_{1}.

Passo 3

Integramos de novo para encontrar f'(t).
f'(t)=\int\Bigl(e^{t}-\tfrac{1}{3}t^{-3}+C_{1}\Bigr)\,dt =\int e^{t}\,dt-\tfrac{1}{3}\int t^{-3}\,dt+\int C_{1}\,dt =e^{t}-\tfrac{1}{3}\cdot\frac{t^{-2}}{-2}+C_{1}t+C_{2} =e^{t}+\tfrac{1}{6}t^{-2}+C_{1}t+C_{2}.

Passo 4

Integramos pela terceira vez para obter f(t).
f(t)=\int\Bigl(e^{t}+\tfrac{1}{6}t^{-2}+C_{1}t+C_{2}\Bigr)\,dt =\int e^{t}\,dt+\tfrac{1}{6}\int t^{-2}\,dt+\int C_{1}t\,dt+\int C_{2}\,dt =e^{t}+\tfrac{1}{6}\cdot\frac{t^{-1}}{-1}+\frac{C_{1}}{2}t^{2}+C_{2}t+C_{3} =e^{t}-\tfrac{1}{6}t^{-1}+\frac{C_{1}}{2}t^{2}+C_{2}t+C_{3}.

Resposta

f(t)=e^{t}-\frac{1}{6t}+\frac{C_{1}}{2}\,t^{2}+C_{2}\,t+C_{3},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes de integração.

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