Encontre f.
f^{\prime \prime \prime}(t)=\cos t

Passo 1

O enunciado pede achar uma função f cuja terceira derivada é \cos t. Isso é uma EDO de ordem 3, e vamos resolver fazendo três integrações sucessivas, acrescentando uma constante de integração a cada passo.

Passo 2

Integramos \cos t para obter f''(t):
f''(t)=\int \cos t\,dt=\sin t + C_1.

Passo 3

Agora integramos f''(t) para achar f'(t):
f'(t)=\int\bigl(\sin t + C_1\bigr)\,dt=-\cos t + C_1\,t + C_2.

Passo 4

Integramos f'(t)$ para obter \(f(t):
f(t)=\int\bigl(-\cos t + C_1\,t + C_2\bigr)\,dt =-\sin t + \frac{C_1}{2}\,t^2 + C_2\,t + C_3.)

Resposta

f(t)=-\sin t + \frac{C_1}{2}\,t^2 + C_2\,t + C_3,
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes de integração.

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