Encontre f.
f^{\prime}(x)=5 x^{4}-3 x^{2}+4, \quad f(-1)=2

Passo 1

O enunciado pede achar a função f sabendo que f'(x)=5x^4-3x^2+4 e que f(-1)=2. O conteúdo principal aqui é integração de polinômios e determinação da constante de integração via condição inicial.

Passo 2

Para obter f(x), integramos termo a termo:
\int 5x^4\,dx = x^5,\quad \int -3x^2\,dx = -x^3,\quad \int 4\,dx = 4x.
Logo a primitiva geral é
f(x) = x^5 - x^3 + 4x + C.

Passo 3

Aplicamos a condição f(-1)=2:
f(-1) = (-1)^5 - (-1)^3 + 4(-1) + C = -1 + 1 - 4 + C = -4 + C.
Igualando a 2, temos -4 + C = 2, logo C = 6.

Resposta

f(x) = x^5 - x^3 + 4x + 6.

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