Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x\left(1-\cos ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\operatorname{sen} x\bigl(1-\cos^{2}x\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integral de função trigonométrica, e vamos usar a identidade pitagórica 1-\cos^{2}x=\operatorname{sen}^{2}x e em seguida uma substituição simples.

Passo 2

Aplicando a identidade 1-\cos^{2}x=\operatorname{sen}^{2}x, o integrando fica
\operatorname{sen} x\bigl(1-\cos^{2}x\bigr)=\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen}^{2}x=\operatorname{sen}^{3}x.
Logo a integral original é
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\operatorname{sen}^{3}x\,dx.

Passo 3

Para integrar \operatorname{sen}^{3}x, fazemos a substituição
u=\cos x,\quad du=-\operatorname{sen} x\,dx.
Reescrevendo \operatorname{sen}^{3}x\,dx=(\operatorname{sen}^{2}x)(\operatorname{sen} x\,dx) e usando \operatorname{sen}^{2}x=1-u^{2}, obtemos
\int\operatorname{sen}^{3}x\,dx =\int(1-u^{2})(-du) =\int(u^{2}-1)\,du.

Passo 4

Agora calculamos a primitiva em u:
\int(u^{2}-1)\,du =\frac{u^{3}}{3}-u+C.
Voltando a x (isto é, u=\cos x), uma antiderivada de \operatorname{sen}^{3}x é
F(x)=\frac{\cos^{3}x}{3}-\cos x.

Passo 5

Avaliamo-la nos limites 0 e \tfrac{\pi}{3}:
F\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}}{3}-\frac12 =\frac{1}{24}-\frac12 =-\frac{11}{24},
F(0) =\frac{1^{3}}{3}-1 =\frac{1}{3}-1 =-\frac{2}{3}.
Portanto,
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\operatorname{sen}^{3}x\,dx =F\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr)-F(0) =-\tfrac{11}{24}-\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =-\tfrac{11}{24}+\tfrac{16}{24} =\tfrac{5}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{24}

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