Verifique, usando integração tripla, que o volume de um cilindro circular de altura
e base de raio
vale o triplo do volume do cone com a mesma altura e a mesma base.
(Considere o cone com equação
)
(Considere o cone com equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por integração tripla, que o volume de um cilindro circular de altura
e base de raio
é três vezes o volume de um cone de mesma base e mesma altura. Vamos usar coordenadas cilíndricas
, onde
o Jacobiano vale
, e a projeção das duas regiões no plano
é o disco
.
Passo 2
Volume do cilindro.
O cilindro é dado por
O cilindro é dado por
A integral do volume é
Como
vem
Passo 3
Volume do cone.
O cone está abaixo da superfície
O cone está abaixo da superfície
e acima do plano
. Logo a região é
Calculamos
Distribuindo e integrando:
Portanto
Passo 4
Comparando
vemos que
Resposta
O volume do cilindro é três vezes o volume do cone: