Verifique, usando integração tripla, que o volume de um cilindro circular de altura h e base de raio a vale o triplo do volume do cone com a mesma altura e a mesma base.
(Considere o cone com equação z=h-\frac{h}{a} \sqrt{x^{2}+y^{2}} )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por integração tripla, que o volume de um cilindro circular de altura h e base de raio a é três vezes o volume de um cone de mesma base e mesma altura. Vamos usar coordenadas cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr), onde
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
o Jacobiano vale r, e a projeção das duas regiões no plano xy é o disco 0\le r\le a,\;0\le\theta\le2\pi.

Passo 2

Volume do cilindro.
O cilindro é dado por
0 \le r \le a,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le z \le h.
A integral do volume é
V_{\rm cyl} = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{a}\!\int_{z=0}^{h} r \,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{a}\!r\Bigl[\int_{0}^{h}\!dz\Bigr]dr = 2\pi\int_{0}^{a} r\,h\,dr.
Como
\int_{0}^{a} r\,dr = \frac{a^2}{2},
vem
V_{\rm cyl} = 2\pi\,h\;\frac{a^2}{2} = \pi a^2 h.

Passo 3

Volume do cone.
O cone está abaixo da superfície
z = h - \frac{h}{a}\sqrt{x^2+y^2} \quad\Longrightarrow\quad z = h - \frac{h}{a}\,r,
e acima do plano z=0. Logo a região é
0 \le r \le a,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le z \le h - \frac{h}{a}\,r.
Calculamos
V_{\rm cone} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{\,h - \frac{h}{a}r} r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{a} r\Bigl(h - \frac{h}{a}r\Bigr)dr.
Distribuindo e integrando:
\int_{0}^{a} r\Bigl(h - \tfrac{h}{a}r\Bigr)dr = h\int_{0}^{a}r\,dr \;-\;\frac{h}{a}\int_{0}^{a}r^2\,dr = h\cdot\frac{a^2}{2}\;-\;\frac{h}{a}\cdot\frac{a^3}{3} = h a^2\Bigl(\tfrac12 - \tfrac13\Bigr) = \frac{h a^2}{6}.
Portanto
V_{\rm cone} = 2\pi\;\frac{h a^2}{6} = \frac{\pi a^2 h}{3}.

Passo 4

Comparando
V_{\rm cyl} = \pi a^2 h \quad\text{e}\quad V_{\rm cone} = \frac{\pi a^2 h}{3},
vemos que
V_{\rm cyl} = 3\,V_{\rm cone}.

Resposta

O volume do cilindro é três vezes o volume do cone:
V_{\rm cyl} = 3\,V_{\rm cone}.

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