Encontre f.
f^prime(x)=1+3 raizx, f(4)=25

Passo 1

O enunciado diz para achar a função f cuja derivada é fʹ(x)=1+3√x e que satisfaz f(4)=25. O conteúdo aqui é integração de funções simples e uso de constante de integração, então vamos integrar fʹ(x) e depois achar C pela condição dada.

Passo 2

Primeiro, divido a integral em duas partes: integrar 1 e integrar 3√x:
A integral de 1 é simples: ∫1 dx = x.

Passo 3

Agora, calculemos a integral de 3√x separadamente:
integral 3raizx,dx = 3 integral x^1/2,dx = 3 cdot x^3/23/2 = 2x^3/2

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, a antiderivada geral fica:
f(x) = x + 2x^3/2 + C

Passo 5

Para encontrar C, usamos a condição f(4)=25:
Substituindo x=4, temos 4 + 2·4^{3/2} + C = 25. Como 4^{3/2} = 8, isso dá 4 + 2·8 + C = 4 + 16 + C = 20 + C = 25, logo C = 5.

Resposta

f(x)=x+2x^3/2+5

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