Calcule as integrais indefinidas abaixo, aplicando de forma adequada o método da substituição e/ou método de integração por partes quando necessário: [ 4,0 pontos - 0,8 cada]
integral x^2 sen x d x

Passo 1

Resumo do exercício: Precisamos calcular a integral indefinida de $ \int x^{2} \sin x , dx $. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher $ u = x^{2} $ e $ dv = \sin x , dx $.

Passo 3

Calculamos $ du $ e $ v $:
du
v

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + integral 2x cos x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral $ \int 2x \cos x , dx $. Vamos novamente usar integração por partes, escolhendo $ u = 2x $ e $ dv = \cos x , dx $.

Passo 6

Calculamos $ du $ e $ v $:
du
v

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral 2x cos x , dx = 2x sin x - integral 2 sin x , dx = 2x sin x + 2 cos x

Passo 8

Substituímos o resultado obtido na expressão anterior:
integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C

Resposta

integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C

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