Calcule os limites a seguir:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede o limite quando x→+∞ da função
O conteúdo aqui é análise de limites no infinito, usando expansão assintótica de frações de polinômios e aproximações de seno e cosseno para pequenos desvios de ângulos conhecidos.
Passo 2
Vamos estudar o segundo argumento
Como o grau do numerador e denominador é 3, dividimos termo a termo:
$$B(x)=\frac{x^3(\pi + 1/x - 3/x3)}{x3(2 - 1/x^2 + 2/x^3)}
=\frac{\pi + 1/x - 3/x^3}{2\bigl(1 - 1/(2x^2) + 1/x^3\bigr)}.
encontramos
$$B(x)=\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2x} + \frac{\pi}{4x^2} + O\bigl(1/x^3\bigr).
onde
$$\theta(x)=\frac{1}{2x}+\frac{\pi}{4x2}+O\bigl(1/x3\bigr).
vemos que
Passo 3
Agora olhamos o primeiro argumento
$$A(x)=\frac{x^2 + x + 1}{1 + 2x}.
=\frac{x}{2}+\frac14+O\bigl(1/x\bigr).
$$
Isso mostra que cresce sem limite, mas
continua simplesmente uma função limitada entre -1 e 1.
Isso mostra que
Passo 4
Finalmente, o produto é
Como
Portanto, final_answer
Resposta
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