Calcule os limites a seguir:
e) lim x +infty[sen(x^2+x+11+2 x) cos (pi x^3+x^2-32-x+2 x^3)]

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x→+∞ da função
f(x)=sinl(x^2+x+11+2xr)cdotcosl(pi x^3+x^2-32 - x + 2x^3r)
O conteúdo aqui é análise de limites no infinito, usando expansão assintótica de frações de polinômios e aproximações de seno e cosseno para pequenos desvios de ângulos conhecidos.

Passo 2

Vamos estudar o segundo argumento
B(x)=pi x^3 + x^2 - 32 - x + 2x^3
Como o grau do numerador e denominador é 3, dividimos termo a termo:
$$B(x)=\frac{x^3(\pi + 1/x - 3/x3)}{x3(2 - 1/x^2 + 2/x^3)}
=\frac{\pi + 1/x - 3/x^3}{2\bigl(1 - 1/(2x^2) + 1/x^3\bigr)}.
B(x)=x^3(pi + 1/x - 3/x^3)x^3(2 - 1/x^2 + 2/x^3) =pi + 1/x - 3/x^32l(1 - 1/(2x^2) + 1/x^3r) ãéé\frac1{1+\delta}\approx1-\delta,$$
encontramos
$$B(x)=\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2x} + \frac{\pi}{4x^2} + O\bigl(1/x^3\bigr).
11+de\cos B(x)=\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+\theta(x)\Bigr),$$
onde
$$\theta(x)=\frac{1}{2x}+\frac{\pi}{4x2}+O\bigl(1/x3\bigr).
B(x)=pi2 + 12x + pi4x^2 + Ol(1/x^3r) \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\theta\bigr)=-\sin\theta\approx -\theta\quad(\theta\approx0),$$
vemos que
cos B(x)=cosl(tfracpi2+theta(x)r),

Passo 3

Agora olhamos o primeiro argumento
$$A(x)=\frac{x^2 + x + 1}{1 + 2x}.
A(x)=x^2 + x + 11 + 2x ééA(x)=\frac{x/2\bigl(1+1/x+1/x^2\bigr)}{1+1/(2x)}
=\frac{x}{2}+\frac14+O\bigl(1/x\bigr).
$$
Isso mostra que A(x)=x/2l(1+1/x+1/x^2r)1+1/(2x) =x2+14+Ol(1/xr) cresce sem limite, mas A(x) continua simplesmente uma função limitada entre -1 e 1.

Passo 4

Finalmente, o produto é
f(x)=sin(A(x))cdotcos(B(x))
Como sin(A(x)) é limitado e cos(B(x))to0 com comportamento ~ -1/(2x), o produto tende a zero por anulação do fator que decai.
Portanto, final_answer

Resposta

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