Exercício 5 - Seja a função f(x)=(x-2)|x|. Encontre f_{+}^{\prime}(0) e f_{-}^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas laterais de
f(x) = (x-2)\,\lvert x\rvert
em x=0. Como há valor absoluto, vamos tratar em duas partes: x\ge0 e x<0, e aplicar a definição
f'_{\pm}(0)=\lim_{h\to0^{\pm}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.

Passo 2

Para x\ge0 temos \lvert x\rvert = x, então
f(x) = (x-2)x = x^{2} - 2x.
Como f(0)=0, a derivada lateral direita é
f'_{+}(0) =\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(h)-0}{h} =\lim_{h\to0^{+}}\frac{h^{2}-2h}{h} =\lim_{h\to0^{+}}(h - 2) =-2.

Passo 3

Para x<0 temos \lvert x\rvert = -x, então
f(x) = (x-2)(-x) = -x^{2} + 2x.
Como f(0)=0, a derivada lateral esquerda é
f'_{-}(0) =\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(h)-0}{h} =\lim_{h\to0^{-}}\frac{-h^{2}+2h}{h} =\lim_{h\to0^{-}}(-h + 2) =2.

Resposta

f'_{+}(0) = -2
f'_{-}(0) = 2

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