Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) das funções:
f(x)=(x-1)(x^3-1).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(x) = (x-1),(x^3-1)
O que vamos usar: a regra do produto para obter f'(x) e, em seguida, a regra de potência para achar f''(x).

Passo 2

Aplicando a regra do produto, definimos
u(x) = x-1, v(x)=x^3-1,
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u'(x)=1, v'(x)=3x^2
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =(1),(x^3-1)+(x-1),(3x^2)

Passo 3

Agora simplificamos o polinômio:
f'(x)=x^3-1+3x^2(x-1) =x^3-1+3x^3-3x^2 =4x^3-3x^2-1

Passo 4

Para f''(x), derivamos termo a termo usando a regra de potência em
f'(x)=4x^3-3x^2-1
Assim
f''(x)=ddx(4x^3)-ddx(3x^2)-ddx(1) =12x^2-6x

Resposta

f'(x)=4x^3-3x^2-1, f''(x)=12x^2-6x

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