Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) das funções:
f(x)=raizx^2-5 x+1.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(x)=raizx^2-5x+1
O conteúdo aqui é derivada de função composta (regra da cadeia) para achar f'(x) e, em seguida, derivar de novo usando a regra do quociente ou potência para obter f''(x).

Passo 2

Para achar f'(x), escrevemos
f(x) = (x^2-5x+1)^tfrac12
Pela regra da cadeia,
f'(x) = tfrac12,(x^2-5x+1)^-tfrac12cdotddx(x^2-5x+1) = tfrac12,(x^2-5x+1)^-tfrac12cdot(2x-5)
Reescrevendo em forma de raiz,
f'(x)=2x-52raizx^2-5x+1

Passo 3

Para f''(x), derivamos
f'(x)=2x-52,(x^2-5x+1)^1/2
usando a regra do quociente. Sejam
N(x)=2x-5, D(x)=2,(x^2-5x+1)^1/2
Então
N'(x)=2, D'(x)=2cdottfrac12,(x^2-5x+1)^-1/2cdot(2x-5) =2x-5raizx^2-5x+1
Pela regra do quociente,
f''(x) =N',D - N,D'D^2 =2cdot2raizx^2-5x+1 ;-;(2x-5),2x-5raizx^2-5x+1 l(2raizx^2-5x+1r)^2
No numerador, colocamos sobre o mesmo denominador raizx^2-5x+1:
4(x^2-5x+1);-;(2x-5)^2raizx^2-5x+1 =4x^2-20x+4 ;-;(4x^2-20x+25)raizx^2-5x+1 =-21raizx^2-5x+1
E no denominador temos l(2raizx^2-5x+1r)^2=4(x^2-5x+1). Logo,
f''(x) =-21raizx^2-5x+1;cdot;4(x^2-5x+1) =-214,(x^2-5x+1)^3/2

Resposta

f'(x)=2x-52raizx^2-5x+1, f''(x)=-214,(x^2-5x+1)^3/2

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