Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) das funções:
f(x)=sen(e^-3 x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada primeira e a derivada segunda de
f(x)=sinl(e^-3xr)
O conteúdo envolvido é aplicação da regra da cadeia para obter f'(x) e, em seguida, uso da regra do produto junto com outra cadeia para achar f''(x).

Passo 2

Para achar f'(x), tomamos
u(x)=e^-3x,
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u'(x)=-3e^-3x
Como f(x)=sinl(u(x)r), pela regra da cadeia
f'(x)=cosl(u(x)r)cdot u'(x) =cosl(e^-3xr)cdotl(-3e^-3xr) =-3e^-3xcosl(e^-3xr)

Passo 3

Para f''(x), derive f'(x)=-3,h(x) com
h(x)=e^-3xcosl(e^-3xr)
Temos
h'(x)=l(e^-3xr)'cosl(e^-3xr) +e^-3xl[cosl(e^-3xr)r]'
Calculando cada parte:
l(e^-3xr)'=-3e^-3x, l[cosl(e^-3xr)r]' =-sinl(e^-3xr)cdot e^-3xcdot(-3) =3e^-3xsinl(e^-3xr)
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h'(x)=-3e^-3xcosl(e^-3xr) +3e^-6xsinl(e^-3xr)
E como f''(x)=-3,h'(x), resulta
f''(x) =9e^-3xcosl(e^-3xr) -9e^-6xsinl(e^-3xr)

Resposta

f'(x)=-3e^-3xcosl(e^-3xr)
f''(x)=9e^-3xcosl(e^-3xr) -9e^-6xsinl(e^-3xr)

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