Mostre que
dd x[x arctan x-12 ln (1+x^2)]=arctan x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
h(x)=x,arctan x ;-;12lnl(1+x^2r)
e mostrar que
h'(x)=arctan x
Para isso vamos usar a regra do produto, a derivada de arctan x e a regra da cadeia na parte do logaritmo.

Passo 2

Derivando o primeiro termo f(x)=x,arctan x pela regra do produto ( u=x, v=arctan x):
f'(x)=u',v + u,v' =1cdot arctan x + xcdot11+x^2 = arctan x + x1+x^2

Passo 3

Derivando o segundo termo g(x)=tfrac12ln(1+x^2) pela regra da cadeia:
g'(x)=12cdotddxl[ln(1+x^2)r] =12cdot2x1+x^2 =x1+x^2
Logo, a derivada de -tfrac12ln(1+x^2) é -tfracx1+x^2.

Passo 4

Somando as duas partes:
h'(x) =l(arctan x + x1+x^2r) ;-;x1+x^2 =arctan x

Resposta

arctan x

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