Encontre f^prime(x).
f(x)=cos x-x cossec x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cos x - x,cossecx
Aqui vamos usar derivadas de funções trigonométricas, em especial cos x e cossecx, além da regra do produto para -x,cossecx.

Passo 2

Derivando o primeiro termo, usamos
ddxl(cos xr) = -sin x

Passo 3

Para o segundo termo -x,cossecx, aplicamos a regra do produto em u=x e v=cossecx:
ddxl(x,cossecxr) = u',v + u,v' = 1cdotcossecx + xcdotddxl(cossecxr)
Sabemos que
ddxl(cossecxr) =-cossecxcot x

Passo 4

Juntando tudo e lembrando do sinal menos que acompanha x,cossecx, temos
f'(x) = -sin x ;-;l[cossecx + xl(-cossecxcot xr)r] = -sin x - cossecx + x,cossecxcot x
Opcionalmente, escrevendo em função de sin x e cos x:
f'(x) = -sin x ;-;1sin x ;+;xcos xsin^2 x

Resposta

f'(x)=-sin x - cossecx + x,cossecxcot x

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