Encontre a Transformada de Laplace inversa.
mathscrL^-1[s(s^2+4)(s+2)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
s(s^2+4)(s+2)
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e uso de tabelas de transformada de Laplace. Vamos decompor em frações parciais e depois aplicar mathscrL^-1 a cada termo.

Passo 2

Suponha
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo e agrupando termos:
Comparando coeficientes com , vem o sistema
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
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Passo 3

Assim a decomposição é
s(s+2)(s^2+4) = -14,1s+2 + 14,ss^2+4 + 12,1s^2+4
Usando as transformadas inversas conhecidas:
mathscrL^-1!l[tfrac1s+2r]=e^-2t, mathscrL^-1!l[tfracss^2+4r]=cos(2t), mathscrL^-1!l[tfrac1s^2+4r]=tfrac12sin(2t),
segue
f(t)=-tfrac14e^-2t +tfrac14cos(2t) +tfrac12!l(tfrac12sin(2t)r) =-tfrac14e^-2t+tfrac14cos(2t)+tfrac14sin(2t)

Resposta

mathscrL^-1!l[s(s^2+4)(s+2)r] =-tfrac14e^-2t+tfrac14cos(2t)+tfrac14sin(2t)

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