Encontre f^prime(x).
e) f(x)=5-cos x5+sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função dada por quociente de duas funções trigonométricas, ou seja, f(x) = (5 – cos x)/(5 + sen x). Vamos usar o conteúdo de derivada de quociente, que diz que, se f(x)=u(x)/v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 2

Identificamos as funções u e v: u(x)=5−cos x e v(x)=5+sen x. Derivando cada uma, obtemos
u'(x)=sin x, v'(x)=cos x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=sin x,(5+sin x)-(5-cos x),cos x(5+sin x)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador: expandindo,
sin x,(5+sin x)=5sin x+sin^2 x,
(5-cos x),cos x=5cos x-cos^2 x,
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5sin x+sin^2 x-(5cos x-cos^2 x)=5sin x+sin^2 x-5cos x+cos^2 x
Como sin^2 x+cos^2 x=1, o numerador vira 1+5sin x-5cos x. Portanto a derivada fica
(veja resposta final)

Resposta

f'(x)=1+5sin x-5cos x(5+sin x)^2

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