Encontre f^prime(x).
f(x)=4 cossec x-cotg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=4csc x-cot x.
O conteúdo aqui são derivadas de funções trigonométricas, em particular de csc x e cot x.

Passo 2

Precisamos lembrar das derivadas básicas:
– A derivada de csc x é
ddxl(csc xr)=-csc xcot x
– A derivada de cot x é
ddxl(cot xr)=-csc^2 x

Passo 3

Agora aplicamos essas regras termo a termo em
f(x)=4csc x-cot x:
– Para 4csc x, usamos a constante 4 vezes a derivada de csc x:
ddxl(4csc xr)=4l(-csc xcot xr)=-4csc xcot x
– Para -cot x, é a negativa da derivada de cot x:
ddxl(-cot xr)=-l(-csc^2 xr)=csc^2 x

Passo 4

Somando os dois resultados, obtemos
f'(x)=-4csc xcot x+csc^2 x
Podemos, se quisermos, fatorar csc x:
f'(x)=csc xl(csc x-4cot xr)

Resposta

f'(x)=-4csc xcot x+csc^2 x

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