(a) Encontre
se
. Calcule
. Existe
para todo
?
(b) Faça o mesmo para
definida por
para
e
para
.
(b) Faça o mesmo para
Passo 1
O enunciado pede para diferenciarmos a função
e calcularmos
O conteúdo usado será:
- Definição de valor absoluto para escrever .
Passo 2
Escrevemos
Para
temos
e
Para
temos
e
Em
calculamos a derivada pelo limite
Logo
Passo 3
Agora derivamos
em cada ramo. Para
,
dá
Para
,
dá
Em
usamos novamente o limite
portanto
Note que para
podemos resumir
Passo 4
Para a terceira derivada, em cada ramo:
- Se
, dex>0 obtemosf''(x)=6x .f'''(x)=6 - Se
, dex<0 obtemosf''(x)=-6x .f'''(x)=-6
Em as derivadas laterais valemx=0
são diferentes, então
f'''(0) não existe.
Passo 5
A função
é exatamente igual a se
,
se
, e
.
se
,
se
, e
.
Por fim,
para
e
para
, de modo que
também não existe.
Por fim,
Resposta
(a)
com
mas não existe em (x=0].
(b) As derivadas de
são idênticas às de
. Portanto
e
existem para todo
(com valores iguais aos de
e
) e
não existe.