(a) Encontre f^prime(x) se f(x)=|x|^3. Calcule f^prime prime(x). Existe f^prime prime prime(x) para todo x ?
(b) Faça o mesmo para g definida por g(x)=x^3 para x >= 0 e g(x)=-x^3 para x <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para diferenciarmos a função
e calcularmos
O conteúdo usado será:
  1. Definição de valor absoluto para escrever .

Passo 2

Escrevemos
Para temos e
Para temos e
Em calculamos a derivada pelo limite
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Passo 3

Agora derivamos em cada ramo. Para ,
Para ,
Em usamos novamente o limite
portanto
Note que para podemos resumir

Passo 4

Para a terceira derivada, em cada ramo:
  • Se x>0, de f''(x)=6x obtemos f'''(x)=6.
  • Se x<0, de f''(x)=-6x obtemos f'''(x)=-6.
    Em x=0 as derivadas laterais valem
limxto0^+f'''(x)=6,limxto0^-f'''(x)=-6,
são diferentes, então f'''(0) não existe.

Passo 5

A função
é exatamente igual a se , se , e .
se , se , e .
Por fim,
para e para , de modo que também não existe.

Resposta

(a)
com
mas não existe em (x=0].
(b) As derivadas de são idênticas às de . Portanto e existem para todo (com valores iguais aos de e ) e não existe.

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