Resolver os seguintes problemas de valores iniciais usando séries de potências.
lx y^prime prime(x)+y^prime(x)=0 ; y(1)=2 ; y^prime(1)=3 ; centro: x0=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em x0=1, o problema de valor inicial
x,y''(x) + y'(x) = 0, y(1)=2,; y'(1)=3
O conteúdo é desenvolvimento em série de potências e obtenção de uma relação de recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Suponha
y(x)=sumn=0^inftyan(x-1)^n
Então
y'(x)=sumn=0^infty(n+1),an+1(x-1)^n, y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2(x-1)^n

Passo 3

Substituindo em x,y''+y'=0 e usando x=(x-1)+1
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2(x-1)^n+1 +sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2(x-1)^n +sumn=0^infty(n+1)an+1(x-1)^n=0
Igualando o coeficiente de (x-1)^k a zero, para k>=0, obtém-se a recorrência
(k+1)ak+1+(k+2)ak+2=0 ;Longrightarrow; ak+2=-(k+1),ak+1k+2

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(1)=a0=2, y'(1)=(0+1)a1=3 ;Longrightarrow; a1=3
Usando a recorrência gera-se
a2=-1cdot a12=-32, a3=-2cdot a23=1, a4=-3cdot a34=-34,;dots
Reconhece-se o padrão, para n>=1:
an=3,(-1)^,n+1n

Passo 5

Portanto a solução em série de potências é
y(x)=a0+sumn=1^inftyan(x-1)^n =2+sumn=1^infty3,(-1)^,n+1n,(x-1)^n

Resposta

boxedy(x)=2+sumn=1^infty3,(-1)^,n+1n(x-1)^n

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