Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
l4 x1+2 x2-3 x3=4 6 x1+3 x2-4 x3=6

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com duas equações e três incógnitas
O conteúdo aqui é análise de existência e unicidade de solução em sistemas subdeterminados ((#equações<#incógnitas]). Vamos usar o teste de posto (rank) e eliminação de Gauss para decidir se há solução e, em caso afirmativo, se é única ou infinita.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes e a matriz aumentada :
Para testar consistência, comparamos o posto de e de . Note que não existe tal que
, pois faria . Logo as duas linhas são independentes em ambas as matrizes, de modo que

Passo 3

Como , o sistema é consistente e admite solução. Mas o número de incógnitas é , maior que o posto , logo há infinitas soluções (grau de liberdade ).

Passo 4

Para obter a forma geral da solução, fazemos eliminação. Subtraindo 1,5 vezes a primeira equação da segunda:
(6x1+3x2-4x3) -1,5,(4x1+2x2-3x3) =6 - 1,5cdot4 ;Longrightarrow; -,tfrac12,x3=0 ;Longrightarrow; x3=0
Substituindo x3=0 na primeira equação:
4x1+2x2=4 ;Longrightarrow; 2x1+x2=2 ;Longrightarrow; x2=2-2x1
Como sobra uma incógnita livre, definimos x1=tinR. Assim,
x1=t, x2=2-2t, x3=0

Resposta

O sistema é consistente e tem infinitas soluções, descritas por
(x1,x2,x3)=(t,;2-2t,;0), tinR

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