Encontre f^prime(x).
e) f(x)=4(3 x^2-2 x+1)^5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=4/(3x²−2x+1)⁵. Vamos usar a regra da cadeia, que permite derivar funções compostas, e também a derivada de polinômio.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em forma de potência: f(x)=4·(3x²−2x+1)^(−5). Dessa forma fica mais direto aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Se temos f(x)=a·[u(x)]ⁿ, então f’(x)=a·n·[u(x)]^(n−1)·u’(x). Aqui a=4, n=−5 e u(x)=3x²−2x+1, logo:
f'(x)=4cdot(-5)cdot(3x^2-2x+1)^-6cdot u'(x)=-20,(3x^2-2x+1)^-6,u'(x)

Passo 4

Agora calculamos u’(x). Como u(x)=3x²−2x+1, sua derivada é
u'(x)=6x-2

Passo 5

Substituindo u’(x) na expressão de f’(x) obtemos
f'(x)=-20,(6x-2),(3x^2-2x+1)^-6

Passo 6

Por fim, colocamos em forma de fração e simplificamos:
f'(x)=-20(6x-2)(3x^2-2x+1)^6

Passo 7

Se preferir, fatoramos 6x−2=2(3x−1) e juntamos com −20:
f'(x)=-40(3x-1)(3x^2-2x+1)^6

Resposta

f’(x)=\displaystyle -,\frac{40,(3x-1)}{(3x2-2x+1)6}

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