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Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=4/(3x²−2x+1)⁵. Vamos usar a regra da cadeia, que permite derivar funções compostas, e também a derivada de polinômio.
Passo 2
Reescrevemos f(x) em forma de potência: f(x)=4·(3x²−2x+1)^(−5). Dessa forma fica mais direto aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia. Se temos f(x)=a·[u(x)]ⁿ, então f’(x)=a·n·[u(x)]^(n−1)·u’(x). Aqui a=4, n=−5 e u(x)=3x²−2x+1, logo:
Passo 4
Agora calculamos u’(x). Como u(x)=3x²−2x+1, sua derivada é
Passo 5
Substituindo u’(x) na expressão de f’(x) obtemos
Passo 6
Por fim, colocamos em forma de fração e simplificamos:
Passo 7
Se preferir, fatoramos 6x−2=2(3x−1) e juntamos com −20:
Resposta
f’(x)=\displaystyle -,\frac{40,(3x-1)}{(3x2-2x+1)6}