Identidique e escreva a cônica dada na forma padrão:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar e escrever a cônica dada na forma padrão. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com cônicas, que são curvas como parábolas, circunferências, elipses e hipérboles. Para identificar qual delas estamos trabalhando, vamos reorganizar a equação e colocá-la na forma padrão usando alguns passos de álgebra.
Passo 2
Primeiro, queremos isolar os termos com $ y $ para facilitar a identificação da cônica. Vamos mover os termos que não têm $ y $ para o outro lado da equação:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em $ y $. Completar o quadrado ajuda a reescrever a equação de uma forma que nos permite identificar facilmente a cônica.
Para completar o quadrado em $ y^{2} - 8y $, seguimos estes passos:
- Pegue o coeficiente de $ y $, que é -8, e divida por 2:
. - Eleve ao quadrado esse resultado:
. - Adicione e subtraia esse valor na equação.
Então, adicionando 16 dos dois lados:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola. A forma geral de uma parábola que abre para a esquerda ou direita é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que:
- $ h = 0 $ e $ k = 4 $
- $ 4p = -9 $ então $ p = -\frac{9}{4} $
O valor negativo de $ p $ indica que a parábola abre para a esquerda.
Resposta
A cônica dada é uma parábola com a forma padrão: