Identidique e escreva a cônica dada na forma padrão:
y^2-8 y+9 x+16=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar e escrever a cônica dada na forma padrão. A equação que temos é:
y^2 - 8y + 9x + 16 = 0
Aqui, estamos lidando com cônicas, que são curvas como parábolas, circunferências, elipses e hipérboles. Para identificar qual delas estamos trabalhando, vamos reorganizar a equação e colocá-la na forma padrão usando alguns passos de álgebra.

Passo 2

Primeiro, queremos isolar os termos com $ y $ para facilitar a identificação da cônica. Vamos mover os termos que não têm $ y $ para o outro lado da equação:
y

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em $ y $. Completar o quadrado ajuda a reescrever a equação de uma forma que nos permite identificar facilmente a cônica.
Para completar o quadrado em $ y^{2} - 8y $, seguimos estes passos:
  1. Pegue o coeficiente de $ y $, que é -8, e divida por 2: y .
  2. Eleve ao quadrado esse resultado: y^2 - 8y .
  3. Adicione e subtraia esse valor na equação.
Então, adicionando 16 dos dois lados:
y
Isso simplifica para:
-8 div 2 = -4

Passo 4

Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola. A forma geral de uma parábola que abre para a esquerda ou direita é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Comparando com a nossa equação:
(y - 4)^2 = -9x
Podemos ver que:
  • $ h = 0 $ e $ k = 4 $
  • $ 4p = -9 $ então $ p = -\frac{9}{4} $
O valor negativo de $ p $ indica que a parábola abre para a esquerda.

Resposta

A cônica dada é uma parábola com a forma padrão:
(y - 4)^2 = -9x

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