Encontre f^prime(x).
f(x)=xe^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=xe^x. O conteúdo principal aqui é derivação de produto e função exponencial, e vamos precisar da regra do produto e da regra da cadeia para derivar a parte e^-x.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos a função como produto:
f(x)=x,e^-x

Passo 3

Identificamos u(x)=x e v(x)=e^-x e aplicamos a regra do produto, que diz:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 4

Calculamos as derivadas de cada parte: a derivada de u(x)=x é u'(x)=1 e, usando a regra da cadeia, a derivada de v(x)=e^-x é v'(x)=-e^-x.

Passo 5

Substituímos na fórmula do produto e simplificamos:
f'(x)=1cdot e^-x+xcdot(-e^-x)=e^-x-x,e^-x=e^-x(1-x)

Passo 6

Por fim, voltamos à forma com e^x no denominador:
f'(x)=1-xe^x

Resposta

f'(x)=1-xe^x

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