Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: d)
Passo 1
Temos a integral iterada
. O conteúdo envolve troca de ordem de integração em uma região do plano
e cálculo de integrais de
.
Passo 2
A região de integração é
. No plano
isso corresponde à faixa entre as retas
e
, para
variando de 0 a 1.
Passo 3
Para inverter a ordem, identificamos a projeção de
no eixo
. Observando os vértices, o menor valor de
é 0 (quando
) e o maior é 2 (quando
e
). Logo,
varia de 0 a 2.
Passo 4
Para um
fixo, a condição
equivale a
e
, além de
. Assim: para
, o teto
não interfere (pois
), logo
. Para
, o teto é
, então
.
Passo 5
A integral com ordem trocada fica então:
Passo 6
Primeiro integramos em
:
então cada termo vira:
Passo 7
Agora calculamos as integrais em
. Para o primeiro intervalo:
Para o segundo:
Passo 8
Somando as duas partes: