Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: d) integral0^1 integraly^2 y e^x d x d y

Passo 1

Temos a integral iterada integral0^1integraly^2ye^x,dx,dy. O conteúdo envolve troca de ordem de integração em uma região do plano (x,y) e cálculo de integrais de e^x.

Passo 2

A região de integração é R=(x,y)mid 0<= y<=1, y<= x<= 2y. No plano (x,y) isso corresponde à faixa entre as retas x=y e x=2y, para y variando de 0 a 1.

Passo 3

Para inverter a ordem, identificamos a projeção de R no eixo x. Observando os vértices, o menor valor de x é 0 (quando y=0) e o maior é 2 (quando y=1 e x=2y). Logo, x varia de 0 a 2.

Passo 4

Para um x fixo, a condição y<= x<=2y equivale a y<= x e y>= x/2, além de 0<= y<=1. Assim: para 0<= x<=1, o teto y<=1 não interfere (pois x<=1), logo yin[x/2,,x]. Para 1<= x<=2, o teto é y<=1, então yin[x/2,,1].

Passo 5

A integral com ordem trocada fica então:
integral0^1integralx/2^xe^x,dy,dx +integral1^2integralx/2^1e^x,dy,dx .

Passo 6

Primeiro integramos em y:
integral e^x,dy=e^xy
então cada termo vira:
integral0^1e^x(x-tfracx2),dx e integral1^2e^x(1-tfracx2),dx

Passo 7

Agora calculamos as integrais em x. Para o primeiro intervalo:
tfrac12integral0^1x e^x,dx =tfrac12l[x e^x-e^xr]0^1 =tfrac12(1) = tfrac12
Para o segundo:
integral1^2e^x,dx-tfrac12integral1^2x e^x,dx =(e^2-e)-tfrac12l[x e^x-e^xr]1^2 =(e^2-e)-tfrac12(e^2) =tfrace^22-e

Passo 8

Somando as duas partes:
tfrac12+l(tfrace^22-er) =tfrace^2-2e+12 =tfrac(e-1)^22

Resposta

(e-1)^22

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