Encontre f.
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{3} x^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma primitiva dupla de \tfrac{2}{3}x^{2/3}, ou seja, encontrar f tal que
f''(x)=\frac{2}{3}x^{2/3}.
O conteúdo principal aqui é integrar duas vezes, usando a fórmula de potência
\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+ \text{constante}.

Passo 2

Primeiro, integramos f''(x) para obter f'(x). Usando
\int x^{2/3}\,dx = \frac{x^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5}\,x^{5/3},
temos
f'(x) = \int \frac{2}{3}\,x^{2/3}\,dx = \frac{2}{3}\,\cdot\frac{3}{5}\,x^{5/3} + C_{1} = \frac{2}{5}\,x^{5/3} + C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração.

Passo 3

Agora integramos f'(x) para achar f(x). Novamente aplicando a fórmula de potência,
\int x^{5/3}\,dx = \frac{x^{8/3}}{8/3} = \frac{3}{8}\,x^{8/3},
resulta em
f(x) = \int\Bigl(\frac{2}{5}x^{5/3} + C_{1}\Bigr)\,dx = \frac{2}{5}\,\cdot\frac{3}{8}\,x^{8/3} + C_{1}\,x + C_{2} = \frac{3}{20}\,x^{8/3} + C_{1}\,x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Resposta

f(x)=\frac{3}{20}\,x^{8/3}+C_{1}\,x+C_{2},
com C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

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