Encontre f.
f^{\prime \prime}(x)=6 x+\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva duas vezes integrada de \,f''(x)=6x+\sin x. Ou seja, precisamos integrar esse valor uma vez para obter f'(x) e, em seguida, integrar de novo para achar f(x), incluindo constantes de integração em cada etapa.

Passo 2

Integramos
f''(x)=6x+\sin x
para obter f'(x). Sabendo que
\int 6x\,dx=3x^2, \qquad \int \sin x\,dx=-\cos x,
temos
f'(x)=3x^2-\cos x+C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração.

Passo 3

Agora integramos
f'(x)=3x^2-\cos x+C_{1}
para obter f(x). Sabendo que
\int 3x^2\,dx=x^3, \qquad \int (-\cos x)\,dx=-\sin x, \qquad \int C_{1}\,dx=C_{1}x,
resulta em
f(x)=x^3-\sin x+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Resposta

f(x)=x^3-\sin x+C_{1}x+C_{2}.

Exercícios relacionados