Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região plana
delimitada pelas curvas
e
, em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região
em que
e
em torno da reta
.
Para usar cascas cilíndricas, fazemos tiras horizontais em função de . Precisamos dos valores de
onde as curvas se intersectam:
Para usar cascas cilíndricas, fazemos tiras horizontais em função de
Logo,
varia de
a
.
Passo 2
Cada tira horizontal, ao girar em torno de
, gera uma casca de:
• raio ,
• altura ,
• espessura .
O volume de uma casca é
• raio
• altura
• espessura
O volume de uma casca é
Passo 3
O volume total é dado por
Passo 4
Expandimos o integrando para facilitar a integração:
Então
Uma antiderivada é
Passo 5
Avaliaremos
de
a
:
Logo,
Portanto
Resposta
O volume do sólido é