Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região plana \mathbf{R} delimitada pelas curvas x=(y-3)^{2} e x=4, em torno da reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R em que
x = (y-3)^2
e
x = 4
em torno da reta y=1.
Para usar cascas cilíndricas, fazemos tiras horizontais em função de y. Precisamos dos valores de y onde as curvas se intersectam:
(y-3)^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad y-3 = \pm 2 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 \text{ ou } y = 5.
Logo, y varia de 1 a 5.

Passo 2

Cada tira horizontal, ao girar em torno de y=1, gera uma casca de:
• raio \rho(y) = y - 1,
• altura h(y) = x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}} = 4 - (y-3)^2,
• espessura \,dy.
O volume de uma casca é
dV = 2\pi\,\rho(y)\,h(y)\,dy = 2\pi\,(y-1)\bigl(4-(y-3)^2\bigr)\,dy.

Passo 3

O volume total é dado por
V = \int_{y=1}^{5} 2\pi\,(y-1)\bigl(4-(y-3)^2\bigr)\,dy.

Passo 4

Expandimos o integrando para facilitar a integração:
(y-1)\bigl(4-(y-3)^2\bigr) = (y-1)\bigl(4 - (y^2 -6y +9)\bigr) = -y^3 +7y^2 -11y +5.
Então
V = 2\pi \int_{1}^{5} \bigl(-y^3 +7y^2 -11y +5\bigr)\,dy.
Uma antiderivada é
F(y) = -\frac{y^4}{4} + \frac{7y^3}{3} - \frac{11y^2}{2} + 5y.

Passo 5

Avaliaremos F(y) de 1 a 5:
F(5) = -\frac{5^4}{4} + \frac{7\cdot5^3}{3} - \frac{11\cdot5^2}{2} + 5\cdot5 = \frac{275}{12},
F(1) = -\frac{1}{4} + \frac{7}{3} - \frac{11}{2} + 5 = \frac{19}{12}.
Logo,
F(5)-F(1) = \frac{275}{12} - \frac{19}{12} = \frac{256}{12} = \frac{64}{3}.
Portanto
V = 2\pi \cdot \frac{64}{3} = \frac{128\pi}{3}.

Resposta

O volume do sólido é
V = \frac{128\pi}{3}.

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