Encontre f^prime(x).
s) f(x)=raiz3 x-sen^2(4 x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=raiz3x-sin^2(4x). O conteúdo envolvido é derivada de função composta, usando regra da cadeia em um radical e derivada de seno.

Passo 2

Vamos reescrever f como composição de duas funções: g(x)=3x-sin^2(4x) e h(u)=raizu. Assim, f(x)=h(g(x)).
Pela regra da cadeia, a derivada de f é f'(x)=h'(g(x))cdot g'(x). Como h(u)=u^1/2, temos h'(u)=tfrac12raizu. Logo,
f'(x)=g'(x)2raizg(x)

Passo 3

Agora derivamos g(x)=3x-sin^2(4x). A derivada de 3x é 3. Para sin^2(4x), aplicamos cadeia duas vezes: se u=sin(4x) então u'=4cos(4x), e como d(u^2)/du=2u,
ddxsin^2(4x)=2sin(4x)cdot4cos(4x)=8sin(4x)cos(4x) Portanto,
g'(x)=3-8sin(4x)cos(4x)

Passo 4

Substituindo em f'(x),
f'(x)=3-8sin(4x)cos(4x)2raiz3x-sin^2(4x) Usando a identidade 2sin(a)cos(a)=sin(2a), temos 8sin(4x)cos(4x)=4sin(8x). Isso simplifica para
f'(x)=3-4sin(8x)2raiz3x-sin^2(4x)

Resposta

f'(x)=3-4sin(8x)2raiz3x-sin^2(4x)

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