Use derivação implícita para achar todos os pontos do gráfico de y^4+y^2=x(x-1) nos quais a reta tangente é vertical.
h) y=ln |1+x1-x|

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de forma explícita da função
y = ln|1+x1-x|
Usaremos regra da cadeia e regra do quociente.

Passo 2

Definimos a função interna u(x) = 1+x1-x. Então temos y = ln|u(x)|. Pela regra da cadeia a derivada de y em relação a x é
y' = u'(x)u(x)

Passo 3

Para achar u'(x) usamos a regra do quociente: se u = vw então
u' = v',w - v,w'w^2
Aqui v(x)=1+x e w(x)=1-x, logo
v' = 1,
w' = -1
Substituindo,
u'(x) = 1cdot(1-x) - (1+x)cdot(-1)(1-x)^2 = 1 - x + 1 + x(1-x)^2 = 2(1-x)^2

Passo 4

Agora substituímos em y' = u'u:
y' = 2(1-x)^21+x1-x = 2(1-x)^2 cdot 1-x1+x = 2(1-x)(1+x) = 21-x^2

Passo 5

Portanto, a derivada da função dada fica simplesmente y'=21-x^2, válida para xneqpm1.

Resposta

y'=21-x^2

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