Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(y / x+6 x) d x+(\ln x-2) d y=0, \quad x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\biggl(\frac{y}{x}+6x\biggr)\,dx+(\ln x-2)\,dy=0,\quad x>0,
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar a solução implícita usando uma função potencial \Psi(x,y).

Passo 2

Chamemos
M(x,y)=\frac{y}{x}+6x, \qquad N(x,y)=\ln x-2.
Calculamos \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{x}
e \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{x}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata.

Passo 3

Existe \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N. Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) =\int\biggl(\frac{y}{x}+6x\biggr)\,dx =y\ln x+3x^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos \Psi_y=N. Calculando
\Psi_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\ln x+3x^2+h(y)\bigr) =\ln x+h'(y)
e igualando a N=\ln x-2 obtemos
\ln x+h'(y)=\ln x-2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-2 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-2y.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi, a solução implícita fica
\Psi(x,y)=y\ln x+3x^2-2y=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e a solução geral é
y\ln x+3x^2-2y=C.

Exercícios relacionados