Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(y / x+6 x) d x+(\ln x-2) d y=0, \quad x>0
(y / x+6 x) d x+(\ln x-2) d y=0, \quad x>0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar a solução implícita usando uma função potencial
.
Passo 2
Chamemos
Calculamos
e
Como
e
Como
a equação é exata.
Passo 3
Existe
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
. Calculando
e igualando a
obtemos
Passo 5
Substituindo
em
, a solução implícita fica
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A equação é exata e a solução geral é