Encontre F(s) ou f(t) como indicado.
L^-11s^2+4 s+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de 1s^2 + 4s + 5. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente à aplicação da transformada inversa para obter a função f(t) no domínio do tempo a partir de uma expressão no domínio de s.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração 1s^2 + 4s + 5. Para facilitar, completaremos o quadrado no polinômio do denominador.

Passo 3

Completando o quadrado para s^2 + 4s + 5:
s^2 + 4s + 5 = (s^2 + 4s + 4) + 1 = (s + 2)^2 + 1

Passo 4

Agora, reescrevemos a expressão original usando o resultado do completamento do quadrado:
1s^2 + 4s + 5 = 1(s + 2)^2 + 1

Passo 5

Sabemos que a transformada inversa de 1(s + a)^2 + b^2 é e^-a t cdot sin(bt)b. Aqui, a = 2 e b = 1.

Passo 6

Aplicando a fórmula acima:
L^-11(s + 2)^2 + 1 = e^-2 t cdot sin(t)

Resposta

A transformada inversa de Laplace é f(t) = e^-2 t cdot sin(t).

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