Resolva a EDO abaixo aplicando a Transformada de Laplace em cada membro
y^prime prime-2 y^prime=e^t senh(t) onde y(0)=0 e y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' - 2y' = e^t sinh(t)
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar algumas propriedades básicas dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. A Transformada de Laplace de $ y’’ $ é:
y''
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, isso simplifica para:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Fazendo o mesmo para $ y’ $:
y(0) = 0
E para o lado direito $ e^{t} \sinh(t) $, sabemos que:
y'(0) = 0
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $, então:
Ly'' = s^2 Y(s)

Passo 3

Substituindo todas essas transformadas na equação original, temos:
s^2 Y(s) - 2s Y(s) = 1s^2 - 2s
Agora, vamos agrupar os termos que têm $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 4

Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados da equação por $ s^2 - 2s $:
Y(s)

Passo 5

Agora, precisamos simplificar $ Y(s) $ para poder aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, fatoramos o denominador:
Y(s)
Então,
s^2 - 2s = s(s - 2)
Para facilitar a inversão, usamos frações parciais. Vamos assumir que:
Y(s) = 1(s(s - 2))^2 = 1s^2 (s - 2)^2
Multiplicando ambos os lados por $ s^2 (s - 2)^2 $ para eliminar os denominadores:
1s^2 (s - 2)^2 = As + Bs^2 + Cs - 2 + D(s - 2)^2
Resolvendo para os coeficientes $ A, B, C, D $, encontramos:
s^2 (s - 2)^2
Então,
1 = A s (s - 2)^2 + B (s - 2)^2 + C s^2 (s - 2) + D s^2

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
L^-11s = 1 L^-11s^2 = t L^-11s - 2 = e^2t L^-11(s - 2)^2 = t e^2t
Então,
y(t) = 14 ( 1 + t + e^2t + t e^2t )

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 14 ( 1 + t + e^2t + t e^2t )

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