Resolva a EDO abaixo aplicando a Transformada de Laplace em cada membro
onde
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar algumas propriedades básicas dessa transformada.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. A Transformada de Laplace de $ y’’ $ é:
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, isso simplifica para:
Fazendo o mesmo para $ y’ $:
E para o lado direito $ e^{t} \sinh(t) $, sabemos que:
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $, então:
Passo 3
Substituindo todas essas transformadas na equação original, temos:
Agora, vamos agrupar os termos que têm $ Y(s) $:
Passo 4
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados da equação por $ s^2 - 2s $:
Passo 5
Agora, precisamos simplificar $ Y(s) $ para poder aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então,
Para facilitar a inversão, usamos frações parciais. Vamos assumir que:
Multiplicando ambos os lados por $ s^2 (s - 2)^2 $ para eliminar os denominadores:
Resolvendo para os coeficientes $ A, B, C, D $, encontramos:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Então,
Resposta
A solução da equação diferencial é: