Utilizando a Divisão de Polinômios e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(l) integral x^3-4 x+1x^2-3 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de integralx^3-4x+1x^2-3x+2,dx. O conteúdo envolve cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos usar a divisão de polinômios para separar um polinômio mais uma fração própria e, depois, decompor essa fração em frações parciais.

Passo 2

Realizamos a divisão de x^3-4x+1 por x^2-3x+2. Dividindo, obtemos quociente x+3 e resto 3x-5. Logo, temos:
x^3-4x+1x^2-3x+2=x+3+3x-5x^2-3x+2

Passo 3

Agora vamos decompor a fração própria 3x-5(x-1)(x-2) em frações parciais. Suponha:
3x-5(x-1)(x-2)=Ax-1+Bx-2
Multiplicando por (x-1)(x-2) e igualando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=3, -2A- B=-5 Longrightarrow A=2,;B=1

Passo 4

Substituindo de volta, fica:
3x-5x^2-3x+2=2x-1+1x-2
Então a integral original se separa em:
integral(x+3),dx+integral2x-1,dx+integral1x-2,dx

Passo 5

Integramos cada termo:
integral(x+3),dx=x^22+3x,
integral2x-1,dx=2ln|x-1|,
integral1x-2,dx=ln|x-2|
Somando tudo, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

x^22+3x+2ln|x-1|+ln|x-2|+C

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