Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(g) integral sen(theta)cos ^2(theta)+cos (theta)-2 d theta

Passo 1

Queremos encontrar a primitiva de integral sin(theta)cos^2(theta)+cos(theta)-2 ,dtheta. O conteúdo aqui envolve substituição de variáveis para simplificar a integral e depois frações parciais para integrar um racional.

Passo 2

Fazemos a substituição u=cos(theta). Então du=-sin(theta),dtheta, o que implica sin(theta),dtheta=-du. Substituindo na integral original, obtemos
-integral duu^2+u-2 .

Passo 3

Observando o polinômio do denominador, fatoramos
u^2+u-2=(u+2)(u-1)
Logo a integral fica
-integral du(u+2)(u-1) .

Passo 4

Para resolver esse integral de racional, usamos frações parciais. Escrevemos
1(u+2)(u-1)=Au+2+Bu-1
E igualamos numeradores, obtendo as equações A+B=0 e -A+2B=1.

Passo 5

Resolvendo o sistema A+B=0 e -A+2B=1 achamos A=-tfrac13 e B=tfrac13. Então
-integral du(u+2)(u-1) = -integrall(-tfrac131u+2+tfrac131u-1r)du = tfrac13integralduu+2-tfrac13integralduu-1
Integrando, vem
.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original theta fazendo u=cos(theta).

Resposta

13lngl|cos(theta)+2cos(theta)-1gr| + C

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