Encontre F(s) ou f(t) como indicado:
L\left\{e^{t} \cos ^{2}(3 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=e^{t}\cos^{2}(3t). O conteúdo principal é o uso da propriedade de deslocamento no domínio s e a identidade trigonométrica para \cos^{2}.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^{2}(3t)=\frac{1}{2}\bigl(1+\cos(6t)\bigr).
Logo
e^{t}\cos^{2}(3t) =\frac{1}{2}\,e^{t}+\frac{1}{2}\,e^{t}\cos(6t).

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
L\{e^{t}\cos^{2}(3t)\} =\frac{1}{2}\,L\{e^{t}\} +\frac{1}{2}\,L\{e^{t}\cos(6t)\}.

Passo 4

Aplicamos o teorema do deslocamento: se L\{g(t)\}=G(s) então
L\{e^{at}g(t)\}=G(s-a).
Como
L\{\cos(6t)\}=\frac{s}{s^{2}+36},
temos
L\{e^{t}\}=\frac{1}{s-1}, \quad L\{e^{t}\cos(6t)\} =\frac{s-1}{(s-1)^{2}+36}.

Passo 5

Substituindo em (3),
F(s)=\frac{1}{2}\,\frac{1}{s-1} +\frac{1}{2}\,\frac{s-1}{(s-1)^{2}+36}.

Resposta

F(s)=\frac{1}{2}\,\frac{1}{s-1} +\frac{1}{2}\,\frac{s-1}{(s-1)^{2}+36}.

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