Encontre F(s) ou f(t) como indicado.
Lt^3 sen(3 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de Transformada de Laplace! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de $ t^{3} \sin(3 t) $. Vamos precisar entender como a Transformada de Laplace funciona, especialmente para funções que envolvem $ t $ elevado a uma potência e funções trigonométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Mas, para facilitar, usaremos algumas propriedades e tabelas de transformadas que já conhecemos.

Passo 3

Sabemos que a Transformada de Laplace de $ \sin(a t) $ é:
sin(a t)
No nosso caso, $ a = 3 $, então:
Lsin(a t) = as^2 + a^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de $ t^{3} \sin(3 t) $. Existe uma propriedade que relaciona a Transformada de Laplace de $ t^{n} f(t) $ com a $ n $-ésima derivada da Transformada de $ f(t) $:
t^3 sin(3 t)
Para o nosso caso, $ n = 3 $ e $ f(t) = \sin(3 t) $, então:
t^n f(t)

Passo 5

Vamos calcular a derivada terceira de $ \frac{3}{s^{2} + 9} $. Primeiro, simplificamos a expressão:
3s^2 + 9
Agora, vamos derivar passo a passo.
Primeira derivada:
3s^2 + 9 = 3 (s^2 + 9)^-1
Segunda derivada:
dd s (3 (s^2 + 9)^-1) = 3 cdot (-1) (s^2 + 9)^-2 cdot 2 s = -6 s (s^2 + 9)^-2
Terceira derivada:
dd s (-6 s (s^2 + 9)^-2) = -6 [ (s^2 + 9)^-2 + s cdot (-2) (s^2 + 9)^-3 cdot 2 s ] = -6 (s^2 + 9)^-2 + 24 s^2 (s^2 + 9)^-3
Simplificando:
dd s (-6 (s^2 + 9)^-2 + 24 s^2 (s^2 + 9)^-3) = -6 cdot (-2) cdot 2 s (s^2 + 9)^-3 + 24 [ 2 s (s^2 + 9)^-3 + s^2 cdot (-3) cdot 2 s (s^2 + 9)^-4 ]
= 24 s (s^2 + 9)^-3 + 48 s (s^2 + 9)^-3 - 144 s^3 (s^2 + 9)^-4

Passo 6

Agora, substituímos a derivada terceira na nossa expressão original:
Lt^3 sin(3 t) = (-1)^3 (72 s (s^2 + 9)^-3 - 144 s^3 (s^2 + 9)^-4)
= -72 s (s^2 + 9)^-3 + 144 s^3 (s^2 + 9)^-4
Podemos fatorar:
= 72 s(s^2 + 9)^3 (-1 + 2 s^2 (s^2 + 9)^-1)
Simplificando mais:
= 72 s (2 s^2 - (s^2 + 9))(s^2 + 9)^4 = 72 s (s^2 - 9)(s^2 + 9)^4

Resposta

A Transformada de Laplace de $ t^{3} \sin(3 t) $ é:
t^3 sin(3 t)

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