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ou
como indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de Transformada de Laplace! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de $ t^{3} \sin(3 t) $. Vamos precisar entender como a Transformada de Laplace funciona, especialmente para funções que envolvem $ t $ elevado a uma potência e funções trigonométricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Mas, para facilitar, usaremos algumas propriedades e tabelas de transformadas que já conhecemos.
Passo 3
Sabemos que a Transformada de Laplace de $ \sin(a t) $ é:
No nosso caso, $ a = 3 $, então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de $ t^{3} \sin(3 t) $. Existe uma propriedade que relaciona a Transformada de Laplace de $ t^{n} f(t) $ com a $ n $-ésima derivada da Transformada de $ f(t) $:
Para o nosso caso, $ n = 3 $ e $ f(t) = \sin(3 t) $, então:
Passo 5
Vamos calcular a derivada terceira de $ \frac{3}{s^{2} + 9} $. Primeiro, simplificamos a expressão:
Agora, vamos derivar passo a passo.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos a derivada terceira na nossa expressão original:
Podemos fatorar:
Simplificando mais:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ t^{3} \sin(3 t) $ é: