Utilizando a Substituição Trigonométrica, calcule as primitivas.
(j) integral raiz25-x^2 d x

Passo 1

Temos a integral integral raiz25 - x^2,dx. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, e vamos precisar usar a identidade sin^2theta + cos^2theta = 1.

Passo 2

Fazemos a substituição x = 5sintheta. Então dx = 5costheta,dtheta e, usando 1 - sin^2theta = cos^2theta, temos raiz25 - x^2 = raiz25 - 25sin^2theta = 5costheta.
Substituindo na integral original:
integral raiz25 - x^2,dx = integral (5costheta)(5costheta,dtheta) = 25integral cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Logo,
25integral cos^2theta,dtheta = 25integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = 252integral 1,dtheta + 252integral cos(2theta),dtheta
Integrando, vem
252theta + 254sin(2theta) + C

Passo 4

Voltamos para x: temos theta = arcsinl(x5r) e sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2x5raiz25 - x^25 = 2xraiz25 - x^225
Substituindo,
252arcsinl(tfracx5r) + 254cdot2xraiz25 - x^225 + C = 252arcsinl(tfracx5r) + x2raiz25 - x^2 + C

Resposta

x2raiz25 - x^2 + 252arcsinl(tfracx5r) + C

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