Sabendo que
, calcule
}^{2}}\right})
}^{2}}\right})
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
. - Pedido: encontrar a função do tempo
cuja transformada de Laplace é .
Passo 2
Decidindo como atacar e usando a pista do enunciado.
- O enunciado lembrou a propriedade
(convolução). Vou usar isso: escrever como produto de duas frações cuja inversa já conhecemos. - Reescrevo:
- Agora identifico as inversas conhecidas: a transformada de Laplace de
é e a de é . Portanto, para temos:
- Logo posso escolher
e , cujas inversas são e .
Passo 3
Definição de convolução e montagem da integral.
- A convolução
é definida por
- Substituindo
e obtemos
Passo 4
Simplificação do integrando com identidade trigonométrica.
- Use a identidade produto-soma
. Aqui e . Assim
- Substituindo na integral:
Passo 5
Cálculo das integrais separadas.
- A primeira integral é simples porque
é constante em :
- A segunda integral:
faço a substituição
, então
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
- Como
é função ímpar, a integral simétrica de a é zero:
Passo 6
Concluindo o valor da convolução e verificando coerência.
- Somando as parcelas:
- Checagem rápida (opcional): usando a propriedade
com e dá . Portanto corresponde a , confirmando o resultado.