Sabendo que \mathcal{L}^{-1} F(s) G(s)=f * g, calcule
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+4 }^{2}}\right})

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: \displaystyle\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{\bigl(s^{2}+4\bigr)^{2}}\right\}.
  • Pedido: encontrar a função do tempo f(t) cuja transformada de Laplace é \displaystyle\frac{s}{\bigl(s^{2}+4\bigr)^{2}}.

Passo 2

Decidindo como atacar e usando a pista do enunciado.
  • O enunciado lembrou a propriedade \displaystyle\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=f*g (convolução). Vou usar isso: escrever \displaystyle\frac{s}{(s^{2}+4)^{2}} como produto de duas frações cuja inversa já conhecemos.
  • Reescrevo:
\frac{s}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{s}{s^{2}+4}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
  • Agora identifico as inversas conhecidas: a transformada de Laplace de \cos(at) é \displaystyle\frac{s}{s^{2}+a^{2}} e a de \sin(at) é \displaystyle\frac{a}{s^{2}+a^{2}}. Portanto, para a=2 temos:
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^{2}+4},\qquad \mathcal{L}\{\tfrac{1}{2}\sin(2t)\}=\frac{1}{s^{2}+4}.
  • Logo posso escolher F(s)=\dfrac{s}{s^{2}+4} e G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+4}, cujas inversas são f(t)=\cos(2t) e g(t)=\dfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 3

Definição de convolução e montagem da integral.
  • A convolução f*g é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
  • Substituindo f(\tau)=\cos(2\tau) e g(t-\tau)=\tfrac{1}{2}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr) obtemos
(f*g)(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos(2\tau)\,\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Simplificação do integrando com identidade trigonométrica.
  • Use a identidade produto-soma \displaystyle\sin X\cos Y=\tfrac{1}{2}\bigl[\sin(X+Y)+\sin(X-Y)\bigr]. Aqui X=2(t-\tau) e Y=2\tau. Assim
\cos(2\tau)\,\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl[\sin(2t)+\sin(2t-4\tau)\bigr].
  • Substituindo na integral:
(f*g)(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\tfrac{1}{2}\bigl[\sin(2t)+\sin(2t-4\tau)\bigr]\,d\tau =\frac{1}{4}\int_{0}^{t}\sin(2t)\,d\tau+\frac{1}{4}\int_{0}^{t}\sin(2t-4\tau)\,d\tau.

Passo 5

Cálculo das integrais separadas.
  • A primeira integral é simples porque \sin(2t) é constante em \tau:
\frac{1}{4}\int_{0}^{t}\sin(2t)\,d\tau=\frac{1}{4}\,\sin(2t)\,t.
  • A segunda integral:
\int_{0}^{t}\sin(2t-4\tau)\,d\tau.
faço a substituição u=2t-4\tau, então du=-4\,d\tau. Quando \tau=0 temos u=2t e quando \tau=t temos u=-2t. Assim
\int_{0}^{t}\sin(2t-4\tau)\,d\tau=\int_{2t}^{-2t}\sin(u)\left(-\frac{du}{4}\right) =\frac{1}{4}\int_{-2t}^{2t}\sin(u)\,du.
  • Como \sin(u) é função ímpar, a integral simétrica de -2t a 2t é zero:
\frac{1}{4}\int_{-2t}^{2t}\sin(u)\,du=0.

Passo 6

Concluindo o valor da convolução e verificando coerência.
  • Somando as parcelas:
(f*g)(t)=\frac{1}{4}\,t\,\sin(2t)+0=\frac{1}{4}\,t\,\sin(2t).
  • Checagem rápida (opcional): usando a propriedade \mathcal{L}\{t\,h(t)\}=-\dfrac{d}{ds}H(s) com h(t)=\sin(2t) e H(s)=\dfrac{2}{s^{2}+4} \mathcal{L}\{t\sin(2t)\}=\dfrac{4s}{(s^{2}+4)^{2}}. Portanto \dfrac{s}{(s^{2}+4)^{2}} corresponde a \dfrac{1}{4}t\sin(2t), confirmando o resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\,t\,\sin(2t)

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