Encontre F(s) oou f(t), como indicado.
Lt(e^t+e^2 t)^2;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace de . Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência . Para isso, vamos precisar usar propriedades de transformadas de funções exponenciais e a propriedade da transformação de multiplicando uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (e^t + e^2t)^2 = e^2t + 2e^3t + e^4t . Isso facilita a aplicação da transformada linear. Usando a identidade , temos:

Passo 3

Agora, a função f(t) = t (e^2t + 2e^3t + e^4t) = t e^2t + 2t e^3t + t e^4t fica:

Passo 4

Vamos aplicar a Transformada de Laplace para cada termo separadamente. Sabemos que:
L t e^a t = 1(s - a)^2
Essa é a propriedade da transformada de multiplicando uma função exponencial.

Passo 5

Aplicando a propriedade para cada termo:
  1. Para L t e^2t = 1(s - 2)^2 :
L 2t e^3t = 2 cdot 1(s - 3)^2 = 2(s - 3)^2
  1. Para L t e^4t = 1(s - 4)^2 :
  1. Para :

Passo 6

Agora, somamos as transformadas obtidas:
L f(t) = 1(s - 2)^2 + 2(s - 3)^2 + 1(s - 4)^2

Resposta

A Transformada de Laplace de L f(t) = 1(s - 2)^2 + 2(s - 3)^2 + 1(s - 4)^2 é:

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