Encontre a solução geral da seguinte equação:
y^prime prime-2 y^prime-8 y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
y'' - 2 y' - 8 y = 0
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente encontrando as soluções da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Assim, nossa equação fica:
y''

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -8 $. Substituindo esses valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos duas soluções para $ r $:
  1. $ r = \frac{2 + 6}{2} = 4 $
  2. $ r = \frac{2 - 6}{2} = -2 $

Passo 4

Com os valores de $ r $ encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral será uma combinação linear de funções exponenciais:
r
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que são determinadas pelas condições iniciais, caso sejam fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ - 2 y’ - 8 y = 0 $ é:
y'' - 2 y' - 8 y = 0

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