Encontre a solução geral da seguinte equação:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente encontrando as soluções da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Assim, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -8 $. Substituindo esses valores:
Então, temos duas soluções para $ r $:
- $ r = \frac{2 + 6}{2} = 4 $
- $ r = \frac{2 - 6}{2} = -2 $
Passo 4
Com os valores de $ r $ encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral será uma combinação linear de funções exponenciais:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que são determinadas pelas condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ - 2 y’ - 8 y = 0 $ é: