Encontre a solução geral da seguinte equação:
y^prime prime+3 y^prime-4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + 3y’ - 4y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial dada. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 3r - 4 = 0 $. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 3r - 4 = 0
onde $ a = 1 $, $ b = 3 $ e $ c = -4 $.

Passo 4

Calculando o discriminante $ \Delta $:
De
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Agora, encontramos as raízes:
r = -3 pm raiz252 times 1 = -3 pm 52
Isso resulta em duas soluções para $ r $:
r

Passo 6

Com as raízes reais e distintas $ r_1 $ e $ r_2 $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
r1
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-4x

Exercícios relacionados