Encontre a solução geral da seguinte equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + 3y’ - 4y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial dada. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 3r - 4 = 0 $. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 1 $, $ b = 3 $ e $ c = -4 $.
Passo 4
Calculando o discriminante $ \Delta $:
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Agora, encontramos as raízes:
Isso resulta em duas soluções para $ r $:
Passo 6
Com as raízes reais e distintas $ r_1 $ e $ r_2 $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: