Encontre F(s) oou f(t), como indicado.
L(1-e^t+3 e^-4 t) cos 5 t;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace, denotada por Lf(t), da função f(t) = (1 - e^t + 3 e^-4 t) cos 5 t. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente aquelas envolvendo exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos lembrar que a transformada de Laplace de cos(bt) é dada por:
Lcos(bt) = ss^2 + b^2
Aqui, b = 5, então:
Lcos(5t) = ss^2 + 25

Passo 3

Agora, vamos lidar com o termo e^t cos(5t). A propriedade da transformada de Laplace para uma exponencial multiplicando uma função é:
Le^at f(t) = F(s - a)
Onde F(s) é a transformada de f(t). Aplicando isso para a = 1:
Le^t cos(5t) = s - 1(s - 1)^2 + 25

Passo 4

Agora, vamos considerar o termo 3 e^-4t cos(5t). Usando a mesma propriedade da transformada de Laplace com a = -4, temos:
Le^-4t cos(5t) = s + 4(s + 4)^2 + 25
Multiplicando por 3:
3 cdot Le^-4t cos(5t) = 3(s + 4)(s + 4)^2 + 25

Passo 5

Finalmente, combinamos todos os termos para encontrar a transformada de Laplace da função original:
L(1 - e^t + 3 e^-4 t) cos 5 t = Lcos(5t) - Le^t cos(5t) + 3 cdot Le^-4t cos(5t)
Substituindo os resultados obtidos:
F(s) = ss^2 + 25 - s - 1(s - 1)^2 + 25 + 3(s + 4)(s + 4)^2 + 25

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:
F(s) = ss^2 + 25 - s - 1(s - 1)^2 + 25 + 3(s + 4)(s + 4)^2 + 25

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