Encontre f sabendo que f(0)=0 e
f^prime(x)=e^3 x+e^-4 x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a função $ f $ sabendo que $ f(0) = 0 $ e a derivada de $ f $, que é $ f’(x) = e^{3x} + e^{-4x} $. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente as técnicas de integração para encontrar a função original a partir da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, pra encontrar a função $ f(x) $ a partir da sua derivada $ f’(x) $, a gente precisa integrar $ f’(x) $. Integrar significa encontrar a função cujas taxas de variação nos dão a derivada que a gente conhece.
Então, vamos integrar cada termo da derivada separadamente:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos integrar $ e^{3x} $ e $ e^{-4x} $ individualmente.
  1. Integral de $ e^{3x} $:
    A integral de $ e^{kx} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{k} e^{kx} $. Aqui, $ k = 3 $, então:
    e^3x
  2. Integral de $ e^{-4x} $:
    Da mesma forma, $ k = -4 $, então:
    e^-4x

Passo 4

Juntando as integrais que calculamos:
f(x) = 13 e^3x - 14 e^-4x + C
Onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial $ f(0) = 0 $.

Passo 5

Vamos usar a condição $ f(0) = 0 $ para achar $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
f(0) = 0
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então:
C
Portanto:
x = 0

Resposta

A função $ f $ é:
f

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