Encontre f(x) se:
f^prime prime(x)=6 x+12 x^2, f(0)=1 e f(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(x) sabendo que sua segunda derivada é f''(x)=6x+12x^2 e que f(0)=1, f(1)=0. O conteúdo aqui é integração de derivadas e aplicação de condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos f''(x) para achar f'(x). Lembrando que integral x^n,dx = x^n+1/(n+1) + C, temos
f'(x) = integral (6x + 12x^2),dx = 3x^2 + 4x^3 + C1

Passo 3

Agora integramos f'(x) para obter f(x). Aplicando a mesma regra de potência,
f(x) = integral (3x^2 + 4x^3 + C1),dx = x^3 + x^4 + C1x + C2

Passo 4

Usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. Primeiro, f(0)=1 implica
f(0) = C2 = 1
Em seguida, f(1)=0
f(1) = 1^3 + 1^4 + C1cdot1 + 1 = 3 + C1 = 0
logo C1 = -3.

Resposta

f(x) = x^4 + x^3 - 3x + 1

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